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楼主: 柳之心

转帖: 《文盲正侃时间史第一部【物理正传】》

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 楼主| 发表于 2016-3-20 16:08:46 | 显示全部楼层
  微积分学是一门研究变化的科学,针对函数、速度、加速度、曲线的斜率、各种面积、体积等这些不算只看都头疼的劳什子,提供了一套通用的计算方法。直观点说,变幻莫测、捉摸不定的东西,就用微积分来测、来捉摸。比如卫星轨道、炮弹轨迹、经济形势、气象变化等,相当的好用。当然,它也不是万能的,你要是想用它来计算咱国油价的涨落,以及女朋友的心思,那还是死了这条心吧。
  为了掌握瞬息万变的世界,人类对计算变化的事物有着与生俱来的渴望,终于有一天,阿基米德创立的“穷竭法”为微积分的诞生埋下了伏笔。
  这个伏笔一埋就是1800多年。由于入梦太久,睡得太死,所以唤醒她的,不是王子的吻,而是炮弹。
发表于 2016-3-21 05:16:01 | 显示全部楼层
柳老师辛苦, 我在看您的转贴,非常感兴趣,并下载到我的空间,多谢。

点评

谢谢,但是,不要谢我,要谢作者!  详情 回复 发表于 2016-3-22 10:08
 楼主| 发表于 2016-3-22 10:08:26 | 显示全部楼层
大光明云 发表于 2016-3-21 05:16
柳老师辛苦, 我在看您的转贴,非常感兴趣,并下载到我的空间,多谢。

谢谢,但是,不要谢我,要谢作者!
 楼主| 发表于 2016-3-22 10:09:00 | 显示全部楼层
  1617世纪,各国为了实现军事现代化,纷纷配置了大规模杀伤性武器——火炮,你有我有全都有,两军交战,开炮不是问题,问题是打不准!于是大家为提高炮弹的命中率,伤透了脑筋,没人会算炮弹的飞行轨迹。它不仅是运动的,还是不断变化的,他个仙人板板!这怎么算?!数学家面对大炮轨迹溃不成军。
  还好有伽利略在,那时他还没被教会关起来。伽利略说,假如没有重力,大炮朝斜上方发射的炮弹,必定沿着发射方向直线前进,冲出地球,走向宇宙。但是在地球上,大家都是有重力的,所以,炮弹出膛后,除了惯性力让它继续向前跑以外,还有重力不断把它往下拉,在两种力的团结协作下,假如不考虑空气阻力,炮弹应该是向前飞的速度不变,向下落的速度却随时间而增加(加速度,很重要哦),于是,炮弹将划出一道优美的彩虹状曲线——抛物线。如果考虑空气阻力,炮弹前进的速度将会逐渐下降,导致它划出的那道弧不完美,不是真正的抛物线。掌握了每种炮弹不同发射角的抛物线,就可以通过调整大炮的发射角度来控制炮弹的落点。问题得到基本解决。为什么要说“基本”呢?因为不够完美:炮弹轨迹不能用数字表达,不方便计算。
  1637年,病床上的笛卡尔带病坚持琢磨:如何把抽象的代数问题几何化。正想着,蓦然回眸间,他突然看见一只蜘蛛,在墙角的三条线间瞎忙活。天才就是天才——他脑子里想的、眼里看的,完美地结合到一起,把墙角线标上刻度,可以准确锁定蜘蛛的点位置,这个点移动的轨迹,就是线……笛卡尔坐标系诞生了!解析几何奠基了!有了它,图和数可以相互转换,从此,现实现象变成了数学问题,炮弹的抛物线可以用坐标系——也就是数学公式来表达了!
  大家正准备雀跃一下以示庆祝,却在起跳时发现一个问题:因为炮弹的轨迹是一个弧,没有直线,所以每一个时间点,炮弹走的方向都有所变化。虽然这种变化是连续的、有规律的,但是,公式没体现出这种变化。于是,炮弹在某个时间点的方向,干瞪眼算不出来!
  随后,聪明的数学家意识到,炮弹沿着弧线前进,它在某点前进的方向线,就是这个点在弧上引的切线。就这么简单吗?当然不简单。我们知道,在圆弧的某点划切线,只需划一条圆心到该点的连线的垂线,就OK。抛物线是弧,但不是圆弧,想准确找到这个点的切线,不太容易。仔细一想,太不容易!
  那就让炮弹先飞一会,我们先请领导上场。
 楼主| 发表于 2016-3-22 10:10:23 | 显示全部楼层
  皮埃尔费马,法国律师、政府官员、贵族。头衔不少,但让他名垂千古的却是一个绰号:业余数学家之王。这并非浪得虚名,实在是他在数学方面的贡献,使一些职业数学家都望尘莫及。他独立于笛卡尔发现了解析几何的基本原理,不同的是,笛卡尔是从一个轨迹来寻找它的方程的,而费马则是从方程出发来研究轨迹的,这是解析几何基本原则的两个相对的方面。他当然也遇到了这个问题:怎样确定抛物线某点的切线?
  数学家不是弹道学家,他们不是搞定抛物线上的切线问题就可以请功去了,而是要搞定所有曲线上的切线问题才算功德圆满。在曲线上划一个正确的切线,关键在于这个切线的倾斜度——也就是斜率正确。笛卡尔、费马等数学家找到了几种计算斜率的方法,但每种方法都是针对特定曲线的,对其他曲线无能为力。就像制定若干套法律,每套只管特定的人群,而对其他人无效一样。尘世间最令人抓狂的事莫过于此。关键时刻,费马出马了,他找到一种相对来说普遍性最好的方法,大致就是在线上取另一点,无限逼近切点,求出两者连线的斜率,算是解了围。他还建立了求极大值、极小值以及定积分的方法,为催生微积分做出了重要贡献。
  这些方法虽然能够解决一些实际问题,但是,作为数学,它缺乏普遍性、简洁性、精确性,不完美,甚至不完整。
  1664年,剑桥大学的尖子生牛顿同学也开始研究“切线难题”,他提出一个简洁的思想:把“线”看成“点”随时间移动的轨迹。
  咱俩一看,这简单得跟废话一样。于是,一齐狐疑地看着牛顿:那又怎么样?
  这样,每个点都会有个瞬间行进的方向。这个方向就是斜率,方向线就是我们要找的那个切线。牛顿说。
  咱俩的下巴掉了下来。面对强人,我们可以颂扬。面对强人中的强人,我们只有无语。
 楼主| 发表于 2016-3-22 10:11:22 | 显示全部楼层
  牛顿先读出切点的坐标值,然后假设切点在无限接近0的时间里,沿线走了一段无限接近0的距离。这样,就得到了数学家们梦寐以求的东西:
  首先,曲线上无限接近0的一段线,可视为直线,这样,相当于直接把切线划出来了。
  其次,无限接近0的值可忽略不计,但它有着实在的数学意义,把它与切点的坐标值结合起来运算,就能得到实实在在的值。
  这真是个聪明透顶的办法。记得三十六计的第十四计吧——借尸还魂。
  剩下的事,就是把这些值代入曲线表达式、斜率公式算一下,那个倒霉的斜率便赤裸裸地出现在我们面前(计算过程就不写了。懂的不用看,不懂的看着晕,我们只要与伟人一起体验灵感迸发的快感就OK了)。牛顿管这种方法叫“流数术”,现在大家都管它叫“微分法”。
  但是,这种算法还是有些麻烦,怎么办呢?后面的文字有些难捱,不过好在看了也不会怀孕,不看也不会爆胎,实在是更多选择、更多欢笑。继续好吗?好的。

 楼主| 发表于 2016-3-22 10:12:54 | 显示全部楼层
 从此,不论是炮弹,还是蚊子,所有运动物体的瞬间行进方向,都在我们的掌握之中。这就是我们梦寐以求的那个方法,够普遍、够简洁、够精确。但牛顿同学没有满足,他主动加压,奋力拼搏,为构建和谐社会作出了新的更大贡献。
  牛顿发现,计算曲边形状面积的方法很麻烦,不够和谐。古希腊时代,人们计算曲线围成的土地面积,是像拼图那样,用三角形啊、长方形啊这些简单的直边图形把它大致填满,这些简单直边图形的面积相加,就是那片土地面积的近似值,具体有多近似,那要看拼图的精细度。欧几里得和阿基米德都曾用过这种方法。这种算法不仅麻烦,而且作为数学来讲,它不够严格。
  
  17世纪,伽利略的弟子卡瓦列利提出一个思想:线由无数个点构成,面由无数条线构成,立体是无数个平面构成。
  那么,点、线、面分别就是线、面、体的“不可分量”。
  卡瓦列利通过比较两个平面(或者立方体)的不可分量之间的关系,来获得两者面积(或体积)之间的关系。有点绕了是吧?没关系,我们还可以举例、画图:
  在一个平面上,我们放一个四面体(四个三角形围的那个),在他旁边,放个体型圆润点的圆锥体。圆锥体的体型虽好,但算起体积来,远不如四面体好算。
  这时,让平面穿透他俩向上移动,在平面上,我们就会不断得到他俩的截面:一个是变化的三角形,一个是变化的圆形。如果从始至终,在每个时间点,我们得到的这俩截面的面积都相等,那么,这个四面体和圆锥体的体积也相等。我们只要算出四面体的体积,就得到了圆锥体的体积。
  上面说的,是对立体,我们比较它们的不可分量:平面。
  同理,对平面,我们可以比较它们的不可分量:线。
这就是著名的卡瓦列利原理。
    其实,这个原理在我国叫“祖暅原理”,由魏晋时数学家刘徽提出“牟合方盖”概念,二百年后,南北朝时代大数学家祖冲之的儿子祖暅发展而成。可惜遭遇和墨子一样,既没引起重视,也没得到发展,自然就没产生什么值得一提的影响。有兴趣的同好们可以查一下相关资料。
 楼主| 发表于 2016-3-22 10:14:00 | 显示全部楼层
 卡瓦列利原理提出后,伽利略的另一名弟子把它用坐标系来表示,这一方法很快得到了发展应用。
  这种算法,比拼图先进了些,但是,还是那句话:作为数学,这些方法依然欠严密,并且太繁琐。
  前面说过,对曲线表达式进行微分,可以得到导数。表达式其实就是一个函数。1665年,聪明勤奋的牛顿同学在研究前辈们的复杂方法时,突然发现,不同图形的面积,可以用不同的导数形式来表示,这样,就可以把它“还原”成表达式,算出这个函数,面积也就出来了。这是微分的逆运算,叫积分。算面积不是问题,算体积也不是问题。
  微积分就这样在不经意间,伴随着一个思想火花轻微劈啪声,悄悄诞生了。
伟大的灵感!
 有了微积分,复杂运动、复杂面积的计算,都任人摆布了。更牛的是,如果我们掌握了运动物体当前某个状态的值,就能用微积分算出它将来的运动状态!这简直就是科学江湖中的倚天剑!
  牛顿是真牛啊!

 楼主| 发表于 2016-3-22 10:14:29 | 显示全部楼层
  不知出于什么原因,牛顿在1665年创立微积分,却直到1707年,才把它发表在他的《光学》的附录里。
  1675年,莱布尼兹(德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家,举世罕见的科学天才,“世界上没有两片完全相同的树叶”出自他口)独立产生了微积分的思想,并于1684年发表了微积分论文。
  牛顿形成微积分思想比莱布尼兹早,公之于众的时间却比莱布尼兹晚。于是,两位大师之间爆发了发明权争夺大战。
  如果牛顿在1665年就把微积分亮出来,这场战争就不存在了。不过,如果这样,胡克等强人就掌握了微积分,那么,万有引力公式是谁的,就不好说了。
  可是,历史没有假设。比起戏剧,历史更具戏剧性。
 楼主| 发表于 2016-3-22 10:15:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 柳之心 于 2016-3-22 10:17 编辑

 此后,数学家们对微积分进行了多方面的改进。19世纪,数学家们把“极限”概念引入微积分,并使之成为现代微积分的基石。现在的微积分动力更强劲,操控性更好,易于上手,实在是居家旅行、科研教育、炒房炒股、经天纬地的必备良药!
  
1679年,胡克写信问牛顿,能否根据向心力定律、引力同距离的平方成反比的定律,来证明行星沿椭圆轨道运动。牛顿对此保持沉默。
 简洁明了。简洁的东西、简洁的方法、处事简洁的人。我喜欢。
  从此,我们只要知道两个物体的质量和距离,就能算出它们之间的引力有多大。
  当时已经有了地球半径、日地距离等精确的数据可以供计算使用。牛顿向哈雷证明,地球的引力是使月亮围绕地球运动的向心力,也证明了在太阳引力作用下,行星运动符合开普勒运动三定律。

  1686年,是一个伟大的年度。在哈雷的敦促下,牛顿写成划时代的伟大著作《自然哲学的数学原理》(以后简称《原理》)。
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